2018年无锡市中考数学试卷含答案解析(word版)

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2018年江苏省无锡市中考数学试卷
 
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑)
1.(3分)下列等式正确的是(  )
A.( )2=3 B. =﹣3 C. =3 D.(﹣ )2=﹣3
2.(3分)函数y= 中自变量x的取值范围是(  )
A.x≠﹣4 B.x≠4 C.x≤﹣4 D.x≤4
3.(3分)下列运算正确的是(  )
A.a2+a3=a5 B.(a2)3=a5 C.a4﹣a3=a D.a4÷a3=a
4.(3分)下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形,其中能折叠成正方体的是(  )
A.  B.  C.  D.
5.(3分)下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形,则这些图形中的轴对称图形有(  )
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.(3分)已知点P(a,m),Q(b,n)都在反比例函数y= 的图象上,且a<0<b,则下列结论一定正确的是(  )
A.m+n<0 B.m+n>0 C.m<n D.m>n
7.(3分)某商场为了解产品A的销售情况,在上个月的销售记录中,随机抽取了5天A产品的销售记录,其售价x(元/件)与对应销量y(件)的全部数据如下表:
售价x(元/件) 90 95 100 105 110
销量y(件) 110 100 80 60 50
则这5天中,A产品平均每件的售价为(  )
A.100元 B.95元 C.98元 D.97.5元
8.(3分)如图,矩形ABCD中,G是BC的中点,过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F,给出下列说法:(1)AC与BD的交点是圆O的圆心;(2)AF与DE的交点是圆O的圆心;(3)BC与圆O相切,其中正确说法的个数是(  )
 
A.0 B.1 C.2 D.3
9.(3分)如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tan∠AFE的值(  )
 
A.等于  B.等于
C.等于  D.随点E位置的变化而变化
10.(3分)如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB剪下的图形,一质点P由A点出发,沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度,则点P由A点运动到B点的不同路径共有(  )
 
A.4条 B.5条 C.6条 D.7条
 
二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分。不需写出解答过程,只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置)
11.(2分)﹣2的相反数的值等于     .
12.(2分)今年“五一”节日期间,我市四个旅游景区共接待游客约303000多人次,这个数据用科学记数法可记为     .
13.(2分)方程 = 的解是     .
14.(2分)方程组 的解是     .
15.(2分)命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是     .
16.(2分)如图,点A、B、C都在⊙O上,OC⊥OB,点A在劣弧 上,且OA=AB,则∠ABC=     .
 
17.(2分)已知△ABC中,AB=10,AC=2 ,∠B=30°,则△ABC的面积等于     .
18.(2分)如图,已知∠XOY=60°,点A在边OX上,OA=2.过点A作AC⊥OY于点C,以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC,点P是△ABC围成的区域(包括各边)内的一点,过点P作PD∥OY交OX于点D,作PE∥OX交OY于点E.设OD=a,OE=b,则a+2b的取值范围是     .
 
 
三、解答题(本大题共10小题,共84分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(8分)计算:
(1)(﹣2)2×|﹣3|﹣( )0
(2)(x+1)2﹣(x2﹣x)
20.(8分)(1)分解因式:3x3﹣27x
(2)解不等式组:
21.(8分)如图,平行四边形ABCD中,E、F分别是边BC、AD的中点,求证:∠ABF=∠CDE.
 
22.(6分)某汽车交易市场为了解二手轿车的交易情况,将本市场去年成交的二手轿车的全部数据,以二手轿车交易前的使用时间为标准分为A、B、C、D、E五类,并根据这些数据由甲,乙两人分别绘制了下面的两幅统计图(图都不完整).
 
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)该汽车交易市场去年共交易二手轿车     辆.
(2)把这幅条形统计图补充完整.(画图后请标注相应的数据)
(3)在扇形统计图中,D类二手轿车交易辆数所对应扇形的圆心角为     度.
23.(8分)某校组织一项公益知识竞赛,比赛规定:每个班级由2名男生、2名女生及1名班主任老师组成代表队.但参赛时,每班只能有3名队员上场参赛,班主任老师必须参加,另外2名队员分别在2名男生和2名女生中各随机抽出1名.初三(1)班由甲、乙2名男生和丙、丁2名女生及1名班主任组成了代表队,求恰好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的概率.(请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程)
24.(8分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cosB= ,求AD的长.
 
25.(8分)一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商,水果店根据该酒店以往每月的需求情况,本月初专门为他们准备了2600kg的这种水果.已知水果店每售出1kg该水果可获利润10元,未售出的部分每1kg将亏损6元,以x(单位:kg,2000≤x≤3000)表示A酒店本月对这种水果的需求量,y(元)表示水果店销售这批水果所获得的利润.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)问:当A酒店本月对这种水果的需求量如何时,该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元?
26.(10分)如图,平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(6,4).
(1)请用直尺(不带刻度)和圆规作一条直线AC,它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C,且使∠ABC=90°,△ABC与△AOC的面积相等.(作图不必写作法,但要保留作图痕迹.)
(2)问:(1)中这样的直线AC是否唯一?若唯一,请说明理由;若不唯一,请在图中画出所有这样的直线AC,并写出与之对应的函数表达式.
 
27.(10分)如图,矩形ABCD中,AB=m,BC=n,将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ(0°<θ<90°)得到矩形A1BC1D1,点A1在边CD上.
(1)若m=2,n=1,求在旋转过程中,点D到点D1所经过路径的长度;
(2)将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2,点D2在BC的延长线上,设边A2B与CD交于点E,若 = ﹣1,求 的值.
 
28.(10分)已知:如图,一次函数y=kx﹣1的图象经过点A(3 ,m)(m>0),与y轴交于点B.点C在线段AB上,且BC=2AC,过点C作x轴的垂线,垂足为点D.若AC=CD.
(1)求这个一次函数的表达式;
(2)已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A,它的顶点为P,若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q(﹣ ,0),求这条抛物线的函数表达式.
 
 

2018年江苏省无锡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑)
1.(3分)下列等式正确的是(  )
A.( )2=3 B. =﹣3 C. =3 D.(﹣ )2=﹣3
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简,判断即可.
【解答】解:( )2=3,A正确;
 =3,B错误;
 = =3 ,C错误;
(﹣ )2=3,D错误;
故选:A.
【点评】本题考查的是二次根式的化简,掌握二次根式的性质: =|a|是解题的关键.
 
2.(3分)函数y= 中自变量x的取值范围是(  )
A.x≠﹣4 B.x≠4 C.x≤﹣4 D.x≤4
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解.
【解答】解:由题意得,4﹣x≠0,
解得x≠4.
故选:B.
【点评】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑:(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.
 
3.(3分)下列运算正确的是(  )
A.a2+a3=a5 B.(a2)3=a5 C.a4﹣a3=a D.a4÷a3=a
【分析】根据合并同类项法则,把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变;幂的乘方,底数不变指数相乘;同底数幂相除,底数不变指数相减,对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】解:A、a2、a3不是同类项不能合并,故A错误;
B、(a2)3=a6)x5•x5=x10,故B错误;
C、a4、a3不是同类项不能合并,故C错误;
D、a4÷a3=a,故D正确.
故选:D.
【点评】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法,熟练掌握运算性质和法则是解题的关键.
 
4.(3分)下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形,其中能折叠成正方体的是(  )
A.  B.  C.  D.
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题.能组成正方体的“一,四,一”“三,三”“二,二,二”“一,三,二”的基本形态要记牢.
【解答】解:能折叠成正方体的是
 
故选:C.
【点评】本题主要考查展开图折叠成几何体的知识点,熟练正方体的展开图是解题的关键.
 
5.(3分)下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形,则这些图形中的轴对称图形有(  )
 
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案.
【解答】解:如图所示:直线l即为各图形的对称轴.
 ,
故选:D.
【点评】此题主要考查了轴对称图形,正确把握轴对称图形的定义是解题关键.
 
6.(3分)已知点P(a,m),Q(b,n)都在反比例函数y= 的图象上,且a<0<b,则下列结论一定正确的是(  )
A.m+n<0 B.m+n>0 C.m<n D.m>n
【分析】根据反比例函数的性质,可得答案.
【解答】解:y= 的k=﹣2<0,图象位于二四象限,
∵a<0,
∴P(a,m)在第二象限,
∴m>0;
∵b>0,
∴Q(b,n)在第四象限,
∴n<0.
∴n<0<m,
即m>n,
故D正确;
故选:D.
【点评】本题考查了反比例函数的性质,利用反比例函数的性质:k<0时,图象位于二四象限是解题关键.
 
7.(3分)某商场为了解产品A的销售情况,在上个月的销售记录中,随机抽取了5天A产品的销售记录,其售价x(元/件)与对应销量y(件)的全部数据如下表:
售价x(元/件) 90 95 100 105 110
销量y(件) 110 100 80 60 50
则这5天中,A产品平均每件的售价为(  )
A.100元 B.95元 C.98元 D.97.5元
【分析】根据加权平均数列式计算可得.
【解答】解:由表可知,这5天中,A产品平均每件的售价为 =98(元/件),
故选:C.
【点评】本题主要考查加权平均数,解题的关键是掌握加权平均数的定义及其计算公式.
 
8.(3分)如图,矩形ABCD中,G是BC的中点,过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F,给出下列说法:(1)AC与BD的交点是圆O的圆心;(2)AF与DE的交点是圆O的圆心;(3)BC与圆O相切,其中正确说法的个数是(  )
 
A.0 B.1 C.2 D.3
【分析】连接DG、AG,作GH⊥AD于H,连接OD,如图,先确定AG=DG,则GH垂直平分AD,则可判断点O在HG上,再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切;接着利用OG=OG可判断圆心O不是AC与BD的交点;然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心.
【解答】解:连接DG、AG,作GH⊥AD于H,连接OD,如图,
∵G是BC的中点,
∴AG=DG,
∴GH垂直平分AD,
∴点O在HG上,
∵AD∥BC,
∴HG⊥BC,
∴BC与圆O相切;
∵OG=OG,
∴点O不是HG的中点,
∴圆心O不是AC与BD的交点;
而四边形AEFD为⊙O的内接矩形,
∴AF与DE的交点是圆O的圆心;
∴(1)错误,(2)(3)正确.
故选:C.
 
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了矩形的性质.
 
9.(3分)如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tan∠AFE的值(  )
 
A.等于  B.等于
C.等于  D.随点E位置的变化而变化
【分析】根据题意推知EF∥AD,由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD,结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答.
【解答】解:∵EF∥AD,
∴∠AFE=∠FAG,
∴△AEH∽△ACD,
∴ = = .
设EH=3x,AH=4x,
∴HG=GF=3x,
∴tan∠AFE=tan∠FAG= = = .
故选:A.
【点评】考查了正方形的性质,矩形的性质以及解直角三角形,此题将求∠AFE的正切值转化为求∠FAG的正切值来解答的.
 
10.(3分)如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB剪下的图形,一质点P由A点出发,沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度,则点P由A点运动到B点的不同路径共有(  )
 
A.4条 B.5条 C.6条 D.7条
【分析】将各格点分别记为1、2、3、4、5、6、7,利用树状图可得所有路径.
【解答】解:如图,将各格点分别记为1、2、3、4、5、6、7,
 
画树状图如下:
 
由树状图可知点P由A点运动到B点的不同路径共有5种,
故选:B.
【点评】本题主要考查列表法与树状图,列举法(树形图法)求概率的关键在于列举出所有可能的结果,列表法是一种,但当一个事件涉及三个或更多元素时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树形图.
 
二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分。不需写出解答过程,只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置)
11.(2分)﹣2的相反数的值等于 2 .
【分析】根据相反数的定义作答.
【解答】解:﹣2的相反数的值等于 2.
故答案是:2.
【点评】考查了相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
 
12.(2分)今年“五一”节日期间,我市四个旅游景区共接待游客约303000多人次,这个数据用科学记数法可记为 3.03×105 .
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于303000有6位整数,所以可以确定n=6﹣1=5.
【解答】解:303000=3.03×105,
故答案为:3.03×105.
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a与n的值是解题的关键.
 
13.(2分)方程 = 的解是 x=﹣  .
【分析】方程两边都乘以x(x+1)化分式方程为整式方程,解整式方程得出x的值,再检验即可得出方程的解.
【解答】解:方程两边都乘以x(x+1),得:(x﹣3)(x+1)=x2,
解得:x=﹣ ,
检验:x=﹣ 时,x(x+1)= ≠0,
所以分式方程的解为x=﹣ ,
故答案为:x=﹣ .
【点评】本题主要考查解分式方程,解题的关键是掌握解分式方程的步骤:①去分母;②求出整式方程的解;③检验;④得出结论.
 
14.(2分)方程组 的解是   .
【分析】利用加减消元法求解可得.
【解答】解: ,
②﹣①,得:3y=3,
解得:y=1,
将y=1代入①,得:x﹣1=2,
解得:x=3,
所以方程组的解为 ,
故答案为: .
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法,要熟练掌握,注意代入法和加减法的应用.
 
15.(2分)命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是 菱形的四条边相等 .
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题.
【解答】解:命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等,
故答案为:菱形的四条边相等.
【点评】本题考查的是命题和定理,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
 
16.(2分)如图,点A、B、C都在⊙O上,OC⊥OB,点A在劣弧 上,且OA=AB,则∠ABC= 15° .
 
【分析】根据等边三角形的判定和性质,再利用圆周角定理解答即可.
【解答】解:∵OA=OB,OA=AB,
∴OA=OB=AB,
即△OAB是等边三角形,
∴∠AOB=60°,
∵OC⊥OB,
∴∠COB=90°,
∴∠COA=90°﹣60°=30°,
∴∠ABC=15°,
故答案为:15°
【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
 
17.(2分)已知△ABC中,AB=10,AC=2 ,∠B=30°,则△ABC的面积等于 15 或10  .
【分析】作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D,分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况,先在Rt△ABD中求得AD、BD的值,再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长,继而就两种情况分别求出BC的长,根据三角形的面积公式求解可得.
【解答】解:作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D,
①如图1,当AB、AC位于AD异侧时,
 
在Rt△ABD中,∵∠B=30°,AB=10,
∴AD=ABsinB=5,BD=ABcosB=5 ,
在Rt△ACD中,∵AC=2 ,
∴CD= = = ,
则BC=BD+CD=6 ,
∴S△ABC= •BC•AD= ×6 ×5=15 ;
②如图2,当AB、AC在AD的同侧时,
 
由①知,BD=5 ,CD= ,
则BC=BD﹣CD=4 ,
∴S△ABC= •BC•AD= ×4 ×5=10 .
综上,△ABC的面积是15 或10 ,
故答案为15 或10 .
【点评】本题主要考查解直角三角形,解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理.
 
18.(2分)如图,已知∠XOY=60°,点A在边OX上,OA=2.过点A作AC⊥OY于点C,以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC,点P是△ABC围成的区域(包括各边)内的一点,过点P作PD∥OY交OX于点D,作PE∥OX交OY于点E.设OD=a,OE=b,则a+2b的取值范围是 2≤a+2b≤5 .
 
【分析】作辅助线,构建30度的直角三角形,先证明四边形EODP是平行四边形,得EP=OD=a,在Rt△HEP中,∠EPH=30°,可得EH的长,计算a+2b=2OH,确认OH最大和最小值的位置,可得结论.
【解答】解:过P作PH⊥OY交于点H,
∵PD∥OY,PE∥OX,
∴四边形EODP是平行四边形,∠HEP=∠XOY=60°,
∴EP=OD=a,
Rt△HEP中,∠EPH=30°,
∴EH= EP= a,
∴a+2b=2( a+b)=2(EH+EO)=2OH,
当P在AC边上时,H与C重合,此时OH的最小值=OC= OA=1,即a+2b的最小值是2;
当P在点B时,OH的最大值是:1+ = ,即(a+2b)的最大值是5,
∴2≤a+2b≤5.
 
【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质,有难度,掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围.
 
三、解答题(本大题共10小题,共84分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(8分)计算:
(1)(﹣2)2×|﹣3|﹣( )0
(2)(x+1)2﹣(x2﹣x)
【分析】(1)本题涉及零指数幂、乘方、绝对值3个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
(2)根据完全平方公式和去括号法则计算,再合并同类项即可求解.
【解答】解:(1)(﹣2)2×|﹣3|﹣( )0
=4×3﹣1
=12﹣1
=11;
(2)(x+1)2﹣(x2﹣x)
=x2+2x+1﹣x2+x
=3x+1.
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、乘方、绝对值、完全平方公式、去括号法则、合并同类项等考点的运算.
 
20.(8分)(1)分解因式:3x3﹣27x
(2)解不等式组:
【分析】(1)先提取公因式3x,再利用平方差公式分解可得;
(2)分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集.
【解答】解:(1)原式=3x(x2﹣9)
=3x(x+3)(x﹣3);

(2)解不等式①,得:x>﹣2,
解不等式②,得:x≤2,
则不等式组的解集为﹣2<x≤3.
【点评】本题考查的是因式分解和解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
 
21.(8分)如图,平行四边形ABCD中,E、F分别是边BC、AD的中点,求证:∠ABF=∠CDE.
 
【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案.
【解答】解:在▱ABCD中,
AD=BC,∠A=∠C,
∵E、F分别是边BC、AD的中点,
∴AF=CE,
在△ABF与△CDE中,
 
∴△ABF≌△CDE(SAS)
∴∠ABF=∠CDE
【点评】本题考查平行四边形的性质,解题的关键是熟练运用平行四边形的性质以及全等三角形,本题属于中等题型
 
22.(6分)某汽车交易市场为了解二手轿车的交易情况,将本市场去年成交的二手轿车的全部数据,以二手轿车交易前的使用时间为标准分为A、B、C、D、E五类,并根据这些数据由甲,乙两人分别绘制了下面的两幅统计图(图都不完整).
 
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)该汽车交易市场去年共交易二手轿车 3000 辆.
(2)把这幅条形统计图补充完整.(画图后请标注相应的数据)
(3)在扇形统计图中,D类二手轿车交易辆数所对应扇形的圆心角为 54 度.
【分析】(1)根据B类别车辆的数量及其所占百分比可得总数量;
(2)用总数量乘以C类别的百分比求得其数量,据此即可补全条形图;
(3)用360°乘以D类车辆占总数量的比例即可得出答案.
【解答】解:(1)该汽车交易市场去年共交易二手轿车1080÷36%=3000辆,
故答案为:3000;

(2)C类别车辆人数为3000×25%=750辆,
补全条形统计图如下:
 

(3)在扇形统计图中,D类二手轿车交易辆数所对应扇形的圆心角为360°× =54°,
故答案为:54.
【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图,解题时注意:条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据,扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
 
23.(8分)某校组织一项公益知识竞赛,比赛规定:每个班级由2名男生、2名女生及1名班主任老师组成代表队.但参赛时,每班只能有3名队员上场参赛,班主任老师必须参加,另外2名队员分别在2名男生和2名女生中各随机抽出1名.初三(1)班由甲、乙2名男生和丙、丁2名女生及1名班主任组成了代表队,求恰好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的概率.(请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程)
【分析】列表得出所有等可能的情况数,找出抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的情况数,即可求出所求的概率.
【解答】设男同学标记为A、B;女学生标记为1、2,可能出现的所有结果列表如下:
 甲 乙 丙 丁
甲 / (乙,甲) (丙,甲) (丁,甲)
乙 (甲,乙) / (丙,乙) (丁,乙)
丙 (甲,丙) (乙,丙) / (丁,丙)
丁 (甲,丁) (乙,丁) (丙,丁) /
共有 12 种可能的结果,且每种的可能性相同,其中恰好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的结果有2种,
所以恰好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的概率为 = .
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
 
24.(8分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cosB= ,求AD的长.
 
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得出∠C=90°,∠ABC+∠ADC=180°.作AE⊥BC于E,DF⊥AE于F,则CDFE是矩形,EF=CD=10.解Rt△AEB,得出BE=AB•cos∠ABE= ,AE= = ,那么AF=AE﹣EF= .再证明∠ABC+∠ADF=90°,根据互余角的互余函数相等得出sin∠ADF=cos∠ABC= .解Rt△ADF,即可求出AD= =6.
【解答】解:∵四边形ABCD内接于⊙O,∠A=90°,
∴∠C=180°﹣∠A=90°,∠ABC+∠ADC=180°.
作AE⊥BC于E,DF⊥AE于F,则CDFE是矩形,EF=CD=10.
在Rt△AEB中,∵∠AEB=90°,AB=17,cos∠ABC= ,
∴BE=AB•cos∠ABE= ,
∴AE= = ,
∴AF=AE﹣EF= ﹣10= .
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠CDF=90°,
∴∠ABC+∠ADF=90°,
∵cos∠ABC= ,
∴sin∠ADF=cos∠ABC= .
在Rt△ADF中,∵∠AFD=90°,sin∠ADF= ,
∴AD= = =6.
 
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质,矩形的判定与性质,勾股定理,解直角三角形,求出AF= 以及sin∠ADF= 是解题的关键.
 
25.(8分)一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商,水果店根据该酒店以往每月的需求情况,本月初专门为他们准备了2600kg的这种水果.已知水果店每售出1kg该水果可获利润10元,未售出的部分每1kg将亏损6元,以x(单位:kg,2000≤x≤3000)表示A酒店本月对这种水果的需求量,y(元)表示水果店销售这批水果所获得的利润.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)问:当A酒店本月对这种水果的需求量如何时,该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元?
【分析】(1)列函数解析式时注意在获得的利润里减去未出售的亏损部分;
(2)由(1)y≥22000即可.
【解答】解:(1)由题意:
当2 000≤x≤2 600时,y=10x﹣6(2600﹣x)=16x﹣15600;
当2 600<x≤3 000时,y=2600×10=26000
(2)由题意得:
16x﹣15600≥22000
解得:x≥2350
∴当A酒店本月对这种水果的需求量小于等于3000,不少于2350kg时,该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元.
【点评】本题考查一次函数和一元一次不等式,求函数关系式和列不等式时,要注意理解题意.
 
26.(10分)如图,平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(6,4).
(1)请用直尺(不带刻度)和圆规作一条直线AC,它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C,且使∠ABC=90°,△ABC与△AOC的面积相等.(作图不必写作法,但要保留作图痕迹.)
(2)问:(1)中这样的直线AC是否唯一?若唯一,请说明理由;若不唯一,请在图中画出所有这样的直线AC,并写出与之对应的函数表达式.
 
【分析】(1)①作线段OB的垂直平分线AC,满足条件,②作矩形OA′BC′,直线A′C′,满足条件;
(2)分两种情形分别求解即可解决问题;
【解答】(1)解:如图△ABC即为所求;
 

(2)解:这样的直线不唯一.
①作线段OB的垂直平分线AC,满足条件,此时直线的解析式为y=﹣ x+ .
②作矩形OA′BC′,直线A′C′,满足条件,此时直线A′C′的解析式为y=﹣ x+4.
【点评】本题考查作图﹣复杂作图,待定系数法等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
 
27.(10分)如图,矩形ABCD中,AB=m,BC=n,将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ(0°<θ<90°)得到矩形A1BC1D1,点A1在边CD上.
(1)若m=2,n=1,求在旋转过程中,点D到点D1所经过路径的长度;
(2)将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2,点D2在BC的延长线上,设边A2B与CD交于点E,若 = ﹣1,求 的值.
 
【分析】(1)作A1H⊥AB于H,连接BD,BD1,则四边形ADA1H是矩形.解直角三角形,求出∠ABA1,得到旋转角即可解决问题;
(2)由△BCE∽△BA2D2,推出 = = ,可得CE= 由 = ﹣1推出 = ,推出AC= • ,推出BH=AC= = • ,可得m2﹣n2=6• ,可得1﹣ =6• ,由此解方程即可解决问题;
【解答】解:(1)作A1H⊥AB于H,连接BD,BD1,则四边形ADA1H是矩形.
 
∴AD=HA1=n=1,
在Rt△A1HB中,∵BA1=BA=m=2,
∴BA1=2HA1,
∴∠ABA1=30°,
∴旋转角为30°,
∵BD= = ,
∴D到点D1所经过路径的长度= = π.

(2)∵△BCE∽△BA2D2,
∴ = = ,
∴CE=
∵ = ﹣1
∴ = ,
∴AC= • ,
∴BH=AC= = • ,
∴m2﹣n2=6• ,
∴m4﹣m2n2=6n4,
1﹣ =6• ,
∴ = (负根已经舍弃).
【点评】本题考查轨迹,旋转变换、解直角三角形、弧长公式等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
 
28.(10分)已知:如图,一次函数y=kx﹣1的图象经过点A(3 ,m)(m>0),与y轴交于点B.点C在线段AB上,且BC=2AC,过点C作x轴的垂线,垂足为点D.若AC=CD.
(1)求这个一次函数的表达式;
(2)已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A,它的顶点为P,若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q(﹣ ,0),求这条抛物线的函数表达式.
 
【分析】(1)利用三角形相似和勾股定理构造方程,求AC和m
(2)由∠APQ=90°,构造△PQD∽△APE构造方程求点P坐标可求二次函数解析式.
【解答】解:(1)过点A作AF⊥x轴,过点B作BF⊥CD于H,交AF于点F,过点C作CE⊥AF于点E
 
设AC=n,则CD=n
∵点B坐标为(0,﹣1)
∴CD=n+1,AF=m+1
∵CH∥AF,BC=2AC

即:
整理得:
n=
Rt△AEC中,
CE2+AE2=AC2
∴5+(m﹣n)2=n2
把n= 代入
5+(m﹣ )2=( )2
解得m1=2,m2=﹣3(舍去)
∴n=1
∴把A(3 ,2)代入y=kx﹣1得
k=
∴y= x﹣1
(2)如图,过点A作AE⊥CD于点E
设点P坐标为(2 ,n),由已知n>0
 
由已知,PD⊥x轴
∴△PQD∽△APE


解得n1=5,n2=﹣3(舍去)
设抛物线解析式为y=a(x﹣h)2+k
∴y=a(x﹣2 )2+5
把A(3 ,2)代入y=a(x﹣2 )2+5
解得a=﹣
∴抛物线解析式为:y=﹣
【点评】本题综合考查二次函数和一次函数性质.在解答过程中,应注意利用三角形相似和勾股定理构造方程,求出未知量.
 


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