四川省双流中学2017-2018学年下期期末适应考试
高二数学(文科)试题
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
2.若复数 满足 ,其中 为虚数单位,则 ( )
A. B. C. D.
3.已知 ,且 ,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
4.若 , ,则 的值为( )
A. B. C. D.
5.设 , 满足约束条件 ,则 的最小值是( )
A.1 B.9 C.-9 D.-15
6.在区间 上随机取两个实数 , ,使得 的概率为( )
A. B. C. D.
7.一个几何体的三视图如图所示,其中主(正)视图是边长为2的正三角形,俯视图是正方形,那么该几何体的侧面积是( )
A. B. C.8 D.12
8.函数 的导函数 的图象如图所示,函数 图象可能是( )
A. B. C. D.
9.过点 引直线 与曲线 相交于 , 两点, 为坐标原点,当 时,直线 的斜率等于( )
A. B. C. D.
10.阅读如图所示的程序框图,若运行相应的程序输出的结果为0,则判断框中的条件不可能是( )
A. B. C. D.
11.已知数列 为等比数列,其前 项和 ,则 的值为( )
A.30 B.35 C.40 D.45
12.已知定义在 上的函数 对任意的 满足 ,当 , .函数 ,若函数 在 上恰有6个零点,实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.答案写在答题卡相应横线上.
13. 的内角 , , 的对边分别为 , , .已知 , , ,则 .
14.从某大学随机抽取的5名女大学生的身高 (厘米)和体重 (公斤)数据如下表:
165 160 175 155 170
58 52 62 43
根据上表可得回归直线方程为 ,则表格中 的值为 .
15.直线 与椭圆 分别交于点 , ,线段 的中点为 ,设直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,则 的值为 .
16.已知函数 ,在区间 内任取两个实数 , ,且 ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围是 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数 在 处有极值,且其图象在 处的切线与直线 平行.
(Ⅰ)求实数 , 的值;
(Ⅱ)求函数 的极大值与极小值的差.
18.为了展示中华汉字的无穷魅力,传递传统文化,提高学习热情,某校开展《中国汉字听写大会》的活动.为响应学校号召,高二(1)班组建了兴趣班,根据甲、乙两人近期8次成绩画出茎叶图,如图所示,甲的成绩中有一个数的个位数字模糊,在茎叶图中用 表示.(把频率当作概率)
(Ⅰ)假设 ,现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛,从统计学的角度,你认为派哪位学生参加比较合适?
(Ⅱ)假设数字 的取值是随机的,求乙的平均分高于甲的平均分的概率.
19.如图,在四棱锥 中, ,且 .
(Ⅰ)证明:平面 平面 ;
(Ⅱ)若 , ,且四棱锥 的体积为 ,求该四棱锥的侧面积.
20.已知椭圆 的中心在坐标原点 ,焦点在 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点,它的离心率是双曲线 的离心率的倒数.
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆 的右焦点 作直线 交椭圆 于 、 两点,交 轴于 点,若 , ,求证: 为定值.
21.设 ,函数 , ( 为自然对数的底数).
(Ⅰ)讨论函数 的单调性;
(Ⅱ)若 在区间 内恒成立,求 的取值范围.
22.在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数).以原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .直线 交曲线 于 , 两点.
(Ⅰ)写出直线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点 的直角坐标为 ,求点 到 , 两点的距离之积.
四川省双流中学2017-2018学年下期期末适应考试
高二数学(文科)答案
一、选择题
1-5: BABCD 6-10: CCDAA 11、12:DB
二、填空题
13. 14. 60 15. 16.
三、解答题
17.解:(Ⅰ)由题知 ,则
,所以 ;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ;
令 ,∴ 或 ;令 ,∴ ;
所以 在 上单调递增,在 单调递减,在 上单调递增.
当 变化时, , 的变换情况如下表:
+
-
+
递增 极大值 递减 极小值 递增
所以 , ;
所以 .
18.解:(Ⅰ)由茎叶图可知甲、乙两人成绩的平均数为
,
,
∴ ;
;
∵ , ,∴两人的平均成绩相等,但甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适.
(Ⅱ)由 ,得 ,
∴ ,又 为整数,∴ ,
又 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为 .
19.解:(Ⅰ)由已知 ,得 , .
由于 ,故 ,从而 平面 .
又 平面 ,所以平面 平面 .
(Ⅱ)在平面 内作 ,垂足为 ,
由(Ⅰ)知, 面 ,故 ,可得 平面 .
设 ,则由已知可得 , .
故四棱锥 的体积 .
由题设得 ,故 ,从而 , , .
可得四棱锥 的侧面积为 .
20.解:(Ⅰ)设椭圆 的方程为 ,抛物线方程为 ,其焦点为 ,
则椭圆 的一个顶点为 ,即 ,由 ,
∴ ,所以椭圆 的标准方程为 .
(Ⅱ)证明:易求出椭圆 的右焦点 ,
设 , , ,显然直线 的斜率存在,
设直线 的方程为 ,代入方程 ,
整理得 ,∴ , ,
又 , , , ,
而 , ,
即 , ,
∴ , ,所以 .
21.解:(Ⅰ) ,
当 即 时, ,从而函数 在定义域内单调递增,
当 即 或 时, ,此时
若 , ,则函数 单调递增;
若 , ,则函数 单调递减;
若 , ,则函数 单调递增.
(Ⅱ)令 ,则 .
因为 ,令 ,则 .
当 时, ,从而 单调递减,令 ,得 .
先考虑 的情况,此时 ;
又当 时, ,所以 在 单调递增;
又因为 ,故当 时, ,从而函数 在区间 内单调递减;
又因为 ,所以 在区间 恒成立.
接下来考虑 的情况,此时 ,令 ,则 .
由零点存在定理,存在 使得 ,
当 时,由 单调递减可知 ,所以 单调递减,
又因为 ,故当 时 ,从而函数 在区间 单调递增;
又因为 ,所以当 , .
综上所述,若 在区间 恒成立,则 的取值范围是 .
22.解:(Ⅰ)由直线 的参数方程可以得到普通方程为 : ,所以直线 的极坐标方程为 ;曲线 的直角坐标方程为 .
(Ⅱ)因为直线 : 经过点 ,所以直线 的参数方程为 ( 为参数),将直线 的参数方程代入 ,化简得到: .
设 , 两点对应的参数分别为 , ,所以 .
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